支付等值法与期望得益最大在博弈论中的应用。当我们设想一个手心手背的小游戏时,可以巧妙地将支付等值法和期望得益最大融入其中。在这个游戏中,我们设定U代表手心,而D代表手背。买单的人的收益为-1,其他人的收益为0。让我们通过描绘支付矩阵来深入理解这一博弈。
我们观察ABC三人的支付情况,从左到右依次排列。通过划线法,我们试图寻找纯策略纳什均衡。当A面临C选U、B选U的情境时,A选择D能使其收益最大化,我们在矩阵左下角为A的支付划上一条线。同样的逻辑也适用于B和C。我们并没有找到能让三个数字都划线的策略组合,也就是说,这场博弈没有纯策略纳什均衡。
接下来,我们来考虑混合策略纳什均衡。假设ABC分别以p、q、s的概率选择U。我们计算三人的期望收益,并对各自的选择概率求偏导,以解出p、q、s的值。结果告诉我们,纳什均衡策略是:A有1/2的概率选择U或D,B倾向于选择U,而C则倾向于选择D。
最终的博弈结果是:A具有决定权,他不需要总是买单。而BC则需要根据A的选择来决定自己的行动。在A的随机选择下,BC各有一半的概率需要买单。这个博弈展示了期望得益最大和支付等值法在决策中的重要性。它不仅揭示了个体在博弈中的策略选择,也揭示了这些策略如何相互影响并影响最终的结果。在这场游戏中,A的策略选择成为了决定胜负的关键,而BC则需要灵活应对。